解释没有问题
充分性由r(B)=n推B^AB正定
当r(B)=n时，显然有Bx=0，因为B的列秩和元素个数相同，x只能为零。而求正定时，x是不为零的向量，所以Bx不为零（注意，Bx是一个列向量，不是一个数）。这样，(Bx)^(Bx)乘积必然大于0。（注意，这里的(Bx)^(Bx)是一个数）
你的做法中有一个错误，B是m*n矩阵，显然不可能是可逆矩阵。可逆矩阵是只有N阶矩阵才有的概念。
B为mxn实矩阵, 不一定可逆.
证明
充分性: 对任意n维非零列向量x
因为 r(B) = n, 所以BX=0 只有零解
故由x≠0知 Bx ≠ 0, 即Bx是一个非零的m维列向量
由A正定知 (Bx)^TA(Bx) > 0.
即 x(B^TAB)x > 0.
所以 B^TAB 正定 #
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